如何证明有界数列必有收敛子数列-搜答案-拍题作业网

证明不了:反例:An=1,当n为偶数;0,当n为奇数这个数列的子列A2k和A2k+2都是常数列,很明显都收敛于1,但是该数列显然不收敛.

同济课本上对这个定理的说明是:对于这个定理我们不做证明,只是给出它的在数轴上的几何意义,你可以参看一下.若要考试这个问题不会考定理证明的,而是要你先用证明某个数列的单调性,然后再证明这个数列的有界性,

证明：设任意收敛子列的相同极限=a,反证法,若该有界数列不收敛于a,设该数列为{An}；则有存在小量e,对于任意正整数N,存在n,n>N;使得/An-a/>e；首先,取N=1;存在n1,使得/An1-

反证法：如果不存在两个不同极限的收敛子列,又数列有界,即所有子列的极限相同,（不能为无穷大了）根据数列极限与子列极限的关系,得原数列必收敛!矛盾!从而必存在两个不同极限的收敛子列.

你说的数列{An}应该默认是实数域R中的吧~这个定理其实就是Weirstrass-Bolzano定理：(无穷)有界数列必有收敛子列.Weirstrass-Bolzano定理证明方法有很多,区间套原理证

聚点定理：任意有界无穷数集至少有一个聚点.对此数列,若有无穷多个相同的项,则此以这些相同的项构成的数列的为该数列的收敛子列.若没有无穷多个相同的项,则该数列的每一个元素作为集合S的一个元素.由聚点定理

证明：任取一收敛子列（一定存在）设其极限为a,则在a的一充分小领域外,一定有这一有界数列的无限项（仍然有界）,从而有收敛子列其极限一定不等于a再问：在充分小的邻域外应该只有有限项了啊，因为从n>N开始

前半句肯定对,后半句举个反例1－11-11……这个数列是有界的（－1到1）但不收敛

数列{X(n)}收敛,记lim(n->无穷)X(n)=a.由极限定义：对于q=1必存在正整数N,当n>N时,恒有|X(n)-a|N时,|X(n)|=|X(n)-a+a|

不妨设数列单调增,因为有上界所以有上确界,设为A.则an0,存在aN>A-§,则由an单调增知,对任意的n,m>N,有A>an>A-§,A>am>A-§.又因为从而有|an-am|

“简单”证明是不太可能了,建议你自己看一下数学分析,严格的推导我就不说了,给你个大体思想.首先设c

设数列{Xn}为有界数列,有A

先用有限覆盖定理证明聚点定理,再用聚点定理证明致密性定理（即任何有界数列必有收敛子列）.再问：这样证明合法吗？改卷老师会扣分吗？再答：应该可以

设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|

楼上说有问题.数列收敛的定义：如果数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q（无论多小）,总存在正整数N,使得n>N时,不等式|Xn-a|

数列收敛的定义：如果数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q（无论多小）,总存在正整数N,使得n>N时,不等式|Xn-a|

反之不一定,单调有界数列必收敛,有界的条件不能保证收敛,必须加上单调

用定义归并性定理的内容显然,它自己就是它的一个子列,所以收敛

不妨设Xn为单增数列,设{Xk}为{Xn}的收敛子列,且{Xk}极限为a,则a为{Xk}的上界下证a为{Xn}的上界任取Xn0,存在Xk0,使Xk0在数列{Xk}中,且k0>n0由于a为{Xk}的上界

1.设有界的复数列{z(n)=a(n)+ib(n)}n∈N,|a(n)|≤|z(n)|≤M==>{a(n)}n∈N为有界的实数列,则必有一个收敛的子数列{a(u(k))}k∈N,且Lim{k→∞}a(

如何证明 有界数列必有收敛子数列